En la matemática a veces resulta difícil representar aquello que los expertos entienden por una secuencia interesante, perfecta, o en otras palabras, fórmulas matemáticas bellas. Un ejemplo muy conocido sería la fórmula Euler que refleja la conexión entre el análisis matemático y la trigonometría: eiπ + 1 = 0. Por un lado el símbolo π viene de la geometría, mientras que la i y la e del álgebra, por otro lado los primitivos 0 y 1 y los operadores = y + provienen de la teoría de números. El hecho de que todos estos elementos estén relacionados de una forma tan simple es una de las grandes maravillas de las matemáticas.
Esto significa que para que una secuencia sea perfecta los patrones matemáticos deben ser interesantes de algún modo. Roger Cotes descubrió la relación entre las funciones trigonométricas y el logaritmo en 1714, y 20 años después Leonhard Euler desarrolló la misma fórmula utilizando la función exponencial en vez del logaritmo. Pero ninguno de los dos vio la interpretación geométrica de la fórmula, hasta que Caspar Wessel unió los puntos en un informe publicado en 1787. Un siglo después, Benjamin Pierce confirmaba a sus alumnos que la fórmula, pese a ser paradójica, era cierta.
Reconocer patrones es algo característico de las personas, aunque nos lleve siglos para conseguirlo. Pero gracias a los avances de la tecnología las máquinas han aprendido a reconocer patrones gracias al uso de inteligencias artificiales y el machine learning. Y aquí entra en juego un nuevo horizonte de posibilidades: ¿puede un algoritmo identificar patrones matemáticos que sean interesantes? ¿Puede una máquina tener capacidad para juzgar la belleza?
La elegancia de una secuencia numérica
Una investigación llevaba por Chai Wah Wu del Centro de Investigación TJ Watson de IBM en Nueva York ha construido un algoritmo de aprendizaje automático para identificar ciertas formas en estructuras matemáticas. Dicho algoritmo se utiliza para filtrar las secuencias más interesantes de aquellas que son aleatorias.
Para el experimento se usó una base de datos llamada Enciclopedia Electrónica de Secuencias de Enteros (OEIS), creada en 1960 por el matemático Neil Sloane, y publicada libremente en Internet en 1996. Esta base de datos nos permite filtrar toda clase de secuencias de números enteros, y es ampliamente usada por matemáticos profesionales, y por estudiantes para practicar matemáticas recreativas.
Una secuencia de números enteros se trata de una serie de números ordenados en función de una regla. Por ejemplo, los números primos, que solo pueden dividirse por sí mismos y por el uno (A000040), o la sucesión de Fibonacci, donde cada término es la suma de los términos anteriores (A000045).
La sucesión de Fibonacci es uno de los mejores ejemplos de matemática elegante, donde cada término es la suma de los dos términos anteriores
La OEIS suele ser el punto de partida para aquellos matemáticos que buscan las denominadas matemáticas bellas, y en ella podemos encontrar muchos ejemplos, como el de una secuencia de números primos que contienen 666, el número de la bestia. Siguiendo con el ejemplo está la secuencia de números primos A138563: en la época del fax el número personal de un fax era el mismo que el del teléfono más uno, y según esta lógica el 667 sería el número fax de la bestia. Todo esto no son más que secuencias de valor cultural de una enciclopedia que contiene más de 300.000 secuencias y que cada día aficionados y matemáticos van añadiendo nuevas.
Volviendo a la investigación de Wu, la idea de su trabajo era encontrar una manera de distinguir las secuencias interesantes de las que son generadas al azar. En otras palabras, determinar una ley empírica con la que la IA fuera capaz de juzgar por sí sola la belleza de una secuencia matemática.
Una ley empírica para determinar la belleza
Un ejemplo de un principio empírico lo encontramos en la ley de Benford de Simon Newcomb: Newcomb observó que las primeras páginas de los libros de tablas logarítmicas pesaban más que las últimas, concluyendo que los logaritmos que comienza con uno eran más comunes. Esto se aplica a cualquier conjunto de datos como las facturas, direcciones o precios: siempre habrá más números que empiecen en uno que con cualquier otra cifra. Lo único sin explicación es que esta ley no parece aplicarse en secuencias aleatorias, aunque sí en algunas secuencias enteras, lo cual es un misterio que trae de cabeza a los matemáticos.
Y aquí entra Wu y su investigación, que quería comprobar hasta que punto es aplicable la ley Benford a este tipo de secuencias. Para averiguarlo midió la precisión con la que la ley es capaz de predecir la distribución de los primeros dígitos en 40.000 secuencias escogidas del OEIS al azar: aunque no todas las acierta en mayoría, los resultados demuestran que la ley de Benford es correcta. En las pruebas también probó el principio empírico de la ley de Taylor, con resultados idénticos.
El siguiente paso era probar ambas leyes con 40.000 secuencias de enteros aleatorios junto a las 40.000 secuencias escogidas al azar del OEIS. Con esto Wu entrenó un algoritmo de aprendizaje automático para detectar las secuencias de OEIS mediante las leyes de Benford y Taylor, para distinguirlas de las secuencias generadas aleatoriamente. El resultado: una exactitud de 0,999 y una precisión de 0,9984. En otras palabras, es posible detectar las secuencias “interesantes”.
Este descubrimiento puede tener una aplicación interesante, dado que los responsables de OEIS procesan hasta 10.000 solicitudes al año, una por una, pero con la IA podría se podría automatizar todo el proceso. Pero para Wu el punto interesante de la investigación está en dos preguntas que se propone: “¿Puede el aprendizaje automático identificar los atributos cualitativos del conocimiento científico?, es decir, ¿podemos decir si un resultado científico es elegante, simple o interesante?”.
Si tomáramos las leyes de Benford y Taylor como un indicador de lo que se considera “interesante” para el ser humano, en ese caso es bastante probable que sí, el algoritmo creado por Wu es capaz de juzgar la belleza en las matemáticas.
Este artículo ha sido publicado por un colaborador invitado.
Si te gustaría colaborar con Techies. es y publicar un artículo en nuestra web puedes ponerte en contacto con nosotros.
Si te ha gustado el artículo síguenos para no perderte nuestras publicaciones: